Tangente à une courbe

On considère la fonction \(f\)  définie sur  \(\left[0 \; ; \; +\infty\right[\)  par \(f(x) = \dfrac{\text e^x}{1 + x}\) .
On note  \(\mathcal{C}_f\)  la représentation graphique de  \(f\)  dans un repère du plan.

1. Déterminer les coordonnées du point \(\text A\) , point d’intersection de la courbe  \(\mathcal{C}_f\)  avec l’axe des ordonnées.

2. La courbe  \(\mathcal{C}_f\)  coupe-t-elle l’axe des abscisses ? Justifier la réponse.

3. On note  \(f'\)  la dérivée de la fonction  \(f\)  sur  \(\left[0 \; ; \; +\infty\right[\) . Montrer que, pour tout réel  \(x\)  de l’intervalle  \(\left[0 \; ; \; +\infty\right[\) ,  \(f'(x) = \dfrac{x\text e^x}{\left(1 + x\right)^2}\) .

4. Étudier le signe de  \(f\)  sur  \(\left[0 \; ; \; +\infty\right[\) . En déduire le sens de variation de  \(f\)  sur  \(\left[0 \; ; \; +\infty\right[\) .

5. On note  \(\mathcal{T}\)  la tangente à  \(\mathcal{C}_f\)  au point  \(\text B\)  d’abscisse \(1,6\) . La tangente  \(\mathcal{T}\)  passe-telle par l’origine du repère ? Justifier la réponse.